ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Программа среднего общего образования по учебному курсу «Алгебра и
начала математического анализа» составлена на основе требований к
результатам освоения программы среднего общего образования,
представленных в ФГОС СОО в действующей редакции, а также в
федеральной рабочей программе воспитания.
Учебный курс «Алгебра и начала математического анализа» является
одним из наиболее значимых в программе среднего общего образования,
поскольку, с одной стороны, он обеспечивает инструментальную базу для
изучения всех естественно-научных курсов, а с другой стороны, формирует
логическое и абстрактное мышление обучающихся на уровне, необходимом
для освоения информатики, обществознания, истории, словесности и других
дисциплин. В рамках данного учебного курса обучающиеся овладевают
универсальным языком современной науки, которая формулирует свои
достижения в математической форме.
Учебный курс алгебры и начал математического анализа закладывает
основу для успешного овладения законами физики, химии, биологии,
понимания основных тенденций развития экономики и общественной жизни,
позволяет ориентироваться в современных цифровых и компьютерных
технологиях, уверенно использовать их для дальнейшего образования и в
повседневной жизни. В то же время овладение абстрактными и логически
строгими конструкциями алгебры и математического анализа развивает
умение находить закономерности, обосновывать истинность, доказывать
утверждения с помощью индукции и рассуждать дедуктивно, использовать
обобщение и конкретизацию, абстрагирование и аналогию, формирует
креативное и критическое мышление.
В ходе изучения учебного курса «Алгебра и начала математического
анализа» обучающиеся получают новый опыт решения прикладных задач,
самостоятельного построения математических моделей реальных ситуаций,
интерпретации
полученных
решений,
знакомятся
с
примерами
математических закономерностей в природе, науке и искусстве, с
выдающимися математическими открытиями и их авторами.
Учебный курс обладает значительным воспитательным потенциалом,
который реализуется как через учебный материал, способствующий
формированию научного мировоззрения, так и через специфику учебной
деятельности, требующей продолжительной концентрации внимания,
самостоятельности, аккуратности и ответственности за полученный
результат.
2
В основе методики обучения алгебре и началам математического
анализа лежит деятельностный принцип обучения.
В структуре учебного курса «Алгебра и начала математического
анализа» выделены следующие содержательно-методические линии: «Числа
и вычисления», «Функции и графики», «Уравнения и неравенства», «Начала
математического анализа», «Множества и логика». Все основные
содержательно-методические линии изучаются на протяжении двух лет
обучения на уровне среднего общего образования, естественно дополняя
друг друга и постепенно насыщаясь новыми темами и разделами. Данный
учебный курс является интегративным, поскольку объединяет в себе
содержание нескольких математических дисциплин, таких как алгебра,
тригонометрия, математический анализ, теория множеств, математическая
логика и другие. По мере того как обучающиеся овладевают всё более
широким математическим аппаратом, у них последовательно формируется и
совершенствуется умение строить математическую модель реальной
ситуации, применять знания, полученные при изучении учебного курса, для
решения самостоятельно сформулированной математической задачи, а затем
интерпретировать свой ответ.
Содержательно-методическая линия «Числа и вычисления» завершает
формирование навыков использования действительных чисел, которое было
начато на уровне основного общего образования. На уровне среднего общего
образования особое внимание уделяется формированию навыков
рациональных вычислений, включающих в себя использование различных
форм записи числа, умение делать прикидку, выполнять приближённые
вычисления, оценивать числовые выражения, работать с математическими
константами. Знакомые обучающимся множества натуральных, целых,
рациональных и действительных чисел дополняются множеством
комплексных чисел. В каждом из этих множеств рассматриваются
свойственные ему специфические задачи и операции: деление нацело,
оперирование остатками на множестве целых чисел, особые свойства
рациональных и иррациональных чисел, арифметические операции, а также
извлечение корня натуральной степени на множестве комплексных чисел.
Благодаря последовательному расширению круга используемых чисел и
знакомству с возможностями их применения для решения различных задач
формируется представление о единстве математики как науки и её роли в
построении моделей реального мира, широко используются обобщение и
конкретизация.
Линия «Уравнения и неравенства» реализуется на протяжении всего
обучения на уровне среднего общего образования, поскольку в каждом
3
разделе Программы предусмотрено решение соответствующих задач. В
результате обучающиеся овладевают различными методами решения
рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и
тригонометрических уравнений, неравенств и систем, а также задач,
содержащих параметры. Полученные умения широко используются при
исследовании функций с помощью производной, при решении прикладных
задач и задач на нахождение наибольших и наименьших значений функции.
Данная содержательная линия включает в себя также формирование умений
выполнять расчёты по формулам, преобразования рациональных,
иррациональных и тригонометрических выражений, а также выражений,
содержащих степени и логарифмы. Благодаря изучению алгебраического
материала происходит дальнейшее развитие алгоритмического и
абстрактного мышления обучающихся, формируются навыки дедуктивных
рассуждений,
работы
с
символьными
формами,
представления
закономерностей и зависимостей в виде равенств и неравенств. Алгебра
предлагает эффективные инструменты для решения практических и
естественно-научных задач, наглядно демонстрирует свои возможности как
языка науки.
Содержательно-методическая линия «Функции и графики» тесно
переплетается с другими линиями учебного курса, поскольку в каком-то
смысле задаёт последовательность изучения материала. Изучение степенной,
показательной, логарифмической и тригонометрических функций, их свойств
и графиков, использование функций для решения задач из других учебных
предметов и реальной жизни тесно связано как с математическим анализом,
так и с решением уравнений и неравенств. При этом большое внимание
уделяется формированию умения выражать формулами зависимости между
различными величинами, исследовать полученные функции, строить их
графики. Материал этой содержательной линии нацелен на развитие умений
и навыков, позволяющих выражать зависимости между величинами в
различной форме: аналитической, графической и словесной. Его изучение
способствует развитию алгоритмического мышления, способности к
обобщению и конкретизации, использованию аналогий.
Содержательная линия «Начала математического анализа» позволяет
существенно расширить круг как математических, так и прикладных задач,
доступных обучающимся, так как у них появляется возможность строить
графики сложных функций, определять их наибольшие и наименьшие
значения, вычислять площади фигур и объёмы тел, находить скорости и
ускорения процессов. Данная содержательная линия открывает новые
возможности построения математических моделей реальных ситуаций,
4
позволяет находить наилучшее решение в прикладных, в том числе
социально-экономических, задачах. Знакомство с основами математического
анализа способствует развитию абстрактного, формально-логического и
креативного мышления, формированию умений распознавать проявления
законов математики в науке, технике и искусстве. Обучающиеся узнают о
выдающихся результатах, полученных в ходе развития математики как
науки, и об их авторах.
Содержательно-методическая линия «Множества и логика» включает в
себя элементы теории множеств и математической логики. Теоретикомножественные представления пронизывают весь курс школьной математики
и предлагают наиболее универсальный язык, объединяющий все разделы
математики и её приложений, они связывают разные математические
дисциплины и их приложения в единое целое. Поэтому важно дать
возможность обучающемуся понимать теоретико-множественный язык
современной математики и использовать его для выражения своих мыслей.
Другим важным признаком математики как науки следует признать
свойственную ей строгость обоснований и следование определённым
правилам
построения
доказательств.
Знакомство
с
элементами
математической логики способствует развитию логического мышления
обучающихся, позволяет им строить свои рассуждения на основе логических
правил, формирует навыки критического мышления.
В учебном курсе «Алгебра и начала математического анализа»
присутствуют основы математического моделирования, которые призваны
способствовать формированию навыков построения моделей реальных
ситуаций, исследования этих моделей с помощью аппарата алгебры и
математического анализа, интерпретации полученных результатов. Такие
задания вплетены в каждый из разделов программы, поскольку весь материал
учебного курса широко используется для решения прикладных задач. При
решении реальных практических задач обучающиеся развивают
наблюдательность, умение находить закономерности, абстрагироваться,
использовать аналогию, обобщать и конкретизировать проблему.
Деятельность по формированию навыков решения прикладных задач
организуется в процессе изучения всех тем учебного курса «Алгебра и начала
математического анализа».
На изучение учебного курса «Алгебра и начала математического
анализа» отводится 272 часа: в 10 классе – 136 часов (4 часа в неделю), в 11
классе – 136 часов (4 часа в неделю).
5
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
10 КЛАСС
Числа и вычисления
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби. Применение дробей и процентов для
решения прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни.
Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа.
Арифметические операции с действительными числами. Модуль
действительного числа и его свойства. Приближённые вычисления, правила
округления, прикидка и оценка результата вычислений.
Степень с целым показателем. Бином Ньютона. Использование
подходящей формы записи действительных чисел для решения практических
задач и представления данных.
Арифметический корень натуральной степени и его свойства.
Степень с рациональным показателем и её свойства, степень с
действительным показателем.
Логарифм числа. Свойства логарифма. Десятичные и натуральные
логарифмы.
Синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента. Арксинус,
арккосинус и арктангенс числового аргумента.
Уравнения и неравенства
Тождества и тождественные преобразования. Уравнение, корень
уравнения. Равносильные уравнения и уравнения-следствия. Неравенство,
решение неравенства.
Основные методы решения целых и дробно-рациональных уравнений и
неравенств. Многочлены от одной переменной. Деление многочлена на
многочлен с остатком. Теорема Безу. Многочлены с целыми
коэффициентами. Теорема Виета.
Преобразования числовых выражений, содержащих степени и корни.
Иррациональные
уравнения.
Основные
методы
решения
иррациональных уравнений.
Показательные уравнения. Основные методы решения показательных
уравнений.
Преобразование выражений, содержащих логарифмы.
Логарифмические
уравнения.
Основные
методы
решения
логарифмических уравнений.
6
Основные
тригонометрические
формулы.
Преобразование
тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений.
Решение систем линейных уравнений. Матрица системы линейных
уравнений. Определитель матрицы 2×2, его геометрический смысл и
свойства, вычисление его значения, применение определителя для решения
системы линейных уравнений. Решение прикладных задач с помощью
системы линейных уравнений. Исследование построенной модели с
помощью матриц и определителей.
Построение математических моделей реальной ситуации с помощью
уравнений и неравенств. Применение уравнений и неравенств к решению
математических задач и задач из различных областей науки и реальной
жизни.
Функции и графики
Функция, способы задания функции. Взаимно обратные функции.
Композиция функций. График функции. Элементарные преобразования
графиков функций.
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Чётные и нечётные функции. Периодические
функции. Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы
функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции. Элементарное
исследование и построение их графиков.
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и
график. Свойства и график корня n-ой степени как функции обратной
степени с натуральным показателем.
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.
Использование графиков функций для решения уравнений.
Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических
функций числового аргумента.
Функциональные зависимости в реальных процессах и явлениях.
Графики реальных зависимостей.
Начала математического анализа
Последовательности, способы задания последовательностей. Метод
математической
индукции.
Монотонные
и
ограниченные
последовательности. История возникновения математического анализа как
анализа бесконечно малых.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии. Линейный и экспоненциальный рост. Число е. Формула сложных
7
процентов. Использование прогрессии для решения реальных задач
прикладного характера.
Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва. Асимптоты
графиков функций. Свойства функций непрерывных на отрезке. Метод
интервалов для решения неравенств. Применение свойств непрерывных
функций для решения задач.
Первая и вторая производные функции. Определение, геометрический и
физический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
Производные
элементарных
функций.
Производная
суммы,
произведения, частного и композиции функций.
Множества и логика
Множество, операции над множествами и их свойства. Диаграммы
Эйлера–Венна. Применение теоретико-множественного аппарата для
описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других
учебных предметов.
Определение, теорема, свойство математического объекта, следствие,
доказательство, равносильные уравнения.
11 КЛАСС
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Применение признаков делимости целых
чисел, наибольший общий делитель (далее – НОД) и наименьшее общее
кратное (далее – НОК), остатков по модулю, алгоритма Евклида для решения
задач в целых числах.
Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы
записи комплексного числа. Арифметические операции с комплексными
числами. Изображение комплексных чисел на координатной плоскости.
Формула Муавра. Корни n-ой степени из комплексного числа. Применение
комплексных чисел для решения физических и геометрических задач.
Уравнения и неравенства
Система и совокупность уравнений и неравенств. Равносильные
системы и системы-следствия. Равносильные неравенства.
Отбор
корней
тригонометрических
уравнений
с
помощью
тригонометрической окружности. Решение тригонометрических неравенств.
Основные методы решения показательных и логарифмических
неравенств.
Основные методы решения иррациональных неравенств.
8
Основные методы решения систем и совокупностей рациональных,
иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
Уравнения, неравенства и системы с параметрами.
Применение уравнений, систем и неравенств к решению
математических задач и задач из различных областей науки и реальной
жизни, интерпретация полученных результатов.
Функции и графики
График композиции функций. Геометрические образы уравнений и
неравенств на координатной плоскости.
Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Графические методы решения уравнений и неравенств. Графические
методы решения задач с параметрами.
Использование графиков функций для исследования процессов и
зависимостей, которые возникают при решении задач из других учебных
предметов и реальной жизни.
Начала математического анализа
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значений
непрерывной функции на отрезке.
Применение производной для нахождения наилучшего решения в
прикладных задачах, для определения скорости и ускорения процесса,
заданного формулой или графиком.
Первообразная, основное свойство первообразных. Первообразные
элементарных функций. Правила нахождения первообразных.
Интеграл.
Геометрический
смысл
интеграла.
Вычисление
определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.
Применение интеграла для нахождения площадей плоских фигур и
объёмов геометрических тел.
Примеры решений дифференциальных уравнений. Математическое
моделирование реальных процессов с помощью дифференциальных
уравнений.
9
ПЛАНИРУЕМЫЕ
«АЛГЕБРА
И
(УГЛУБЛЕННЫЙ
ОБРАЗОВАНИЯ
РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА»
УРОВЕНЬ) НА УРОВНЕ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1) гражданского воспитания:
сформированность гражданской позиции обучающегося как активного и
ответственного
члена
российского
общества,
представление
о
математических основах функционирования различных структур, явлений,
процедур гражданского общества (выборы, опросы и другое), умение
взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их
функциями и назначением;
2) патриотического воспитания:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к
прошлому и настоящему российской математики, ценностное отношение к
достижениям российских математиков и российской математической школы,
использование этих достижений в других науках, технологиях, сферах
экономики;
3) духовно-нравственного воспитания:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность
нравственного сознания, этического поведения, связанного с практическим
применением достижений науки и деятельностью учёного, осознание
личного вклада в построение устойчивого будущего;
4) эстетического воспитания:
эстетическое отношение к миру, включая эстетику математических
закономерностей, объектов, задач, решений, рассуждений, восприимчивость
к математическим аспектам различных видов искусства;
5) физического воспитания:
сформированность умения применять математические знания в
интересах здорового и безопасного образа жизни, ответственное отношение к
своему здоровью (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и
отдыха, регулярная физическая активность), физическое совершенствование
при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью;
6) трудового воспитания:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к
различным сферам профессиональной деятельности, связанным с
математикой и её приложениями, умение совершать осознанный выбор
10
будущей профессии и реализовывать собственные жизненные планы,
готовность и способность к математическому образованию и
самообразованию на протяжении всей жизни, готовность к активному
участию в решении практических задач математической направленности;
7) экологического воспитания:
сформированность экологической культуры, понимание влияния
социально-экономических процессов на состояние природной и социальной
среды, осознание глобального характера экологических проблем, ориентация
на применение математических знаний для решения задач в области
окружающей среды, планирование поступков и оценки их возможных
последствий для окружающей среды;
8) ценности научного познания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному
уровню развития науки и общественной практики, понимание
математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов её
развития и значимости для развития цивилизации, овладение языком
математики и математической культурой как средством познания мира,
готовность осуществлять проектную и исследовательскую деятельность
индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак классификации,
основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать,
формулировать
и
преобразовывать
суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия
в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для
выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений
(прямые и от противного), выстраивать аргументацию, приводить примеры и
контрпримеры, обосновывать собственные суждения и выводы;
11
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом
самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать
вопросы,
фиксирующие
противоречие,
проблему,
устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать
свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование
по установлению особенностей математического объекта, явления, процесса,
выявлению зависимостей между объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на
вопрос и для решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать,
систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и
форм представления;
структурировать информацию, представлять её в различных формах,
иллюстрировать графически;
оценивать
надёжность
информации
по
самостоятельно
сформулированным критериям.
Коммуникативные универсальные учебные действия
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и
целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в
устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи,
комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других участников
диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме
формулировать разногласия, свои возражения;
12
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования,
проекта, самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач
презентации и особенностей аудитории.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с
учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать
и корректировать варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания
совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов, владеть
способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения
математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, данных,
найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины
достижения или недостижения результатов деятельности, находить ошибку,
давать оценку приобретённому опыту.
Совместная деятельность:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных задач, принимать цель совместной
деятельности, планировать организацию совместной работы, распределять
виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы,
обобщать мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений,
«мозговые штурмы» и иные), выполнять свою часть работы и
координировать свои действия с другими членами команды, оценивать
качество своего вклада в общий продукт по критериям, сформулированным
участниками взаимодействия.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу обучения в 10 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты по отдельным темам рабочей программы учебного
курса «Алгебра и начала математического анализа»:
Числа и вычисления:
13
свободно оперировать понятиями: рациональное число, бесконечная
периодическая дробь, проценты, иррациональное число, множества
рациональных и действительных чисел, модуль действительного числа;
применять дроби и проценты для решения прикладных задач из
различных отраслей знаний и реальной жизни;
применять приближённые вычисления, правила округления, прикидку и
оценку результата вычислений;
свободно оперировать понятием: степень с целым показателем,
использовать подходящую форму записи действительных чисел для решения
практических задач и представления данных;
свободно оперировать понятием: арифметический корень натуральной
степени;
свободно оперировать понятием: степень с рациональным показателем;
свободно оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и
натуральные логарифмы;
свободно оперировать понятиями: синус, косинус, тангенс, котангенс
числового аргумента;
оперировать понятиями: арксинус, арккосинус и арктангенс числового
аргумента.
Уравнения и неравенства:
свободно оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство,
равносильные уравнения и уравнения-следствия, равносильные неравенства;
применять различные методы решения рациональных и дробнорациональных уравнений, применять метод интервалов для решения
неравенств;
свободно оперировать понятиями: многочлен от одной переменной,
многочлен с целыми коэффициентами, корни многочлена, применять
деление многочлена на многочлен с остатком, теорему Безу и теорему Виета
для решения задач;
свободно оперировать понятиями: система линейных уравнений,
матрица, определитель матрицы 2 × 2 и его геометрический смысл,
использовать свойства определителя 2 × 2 для вычисления его значения,
применять определители для решения системы линейных уравнений,
моделировать реальные ситуации с помощью системы линейных уравнений,
исследовать построенные модели с помощью матриц и определителей,
интерпретировать полученный результат;
использовать свойства действий с корнями для преобразования
выражений;
14
выполнять преобразования числовых выражений, содержащих степени с
рациональным показателем;
использовать
свойства
логарифмов
для
преобразования
логарифмических выражений;
свободно оперировать понятиями: иррациональные, показательные и
логарифмические уравнения, находить их решения с помощью равносильных
переходов или осуществляя проверку корней;
применять основные тригонометрические формулы для преобразования
тригонометрических выражений;
свободно оперировать понятием: тригонометрическое уравнение,
применять необходимые формулы для решения основных типов
тригонометрических уравнений;
моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать
построенные модели с использованием аппарата алгебры.
Функции и графики:
свободно оперировать понятиями: функция, способы задания функции,
взаимно обратные функции, композиция функций, график функции,
выполнять элементарные преобразования графиков функций;
свободно оперировать понятиями: область определения и множество
значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства;
свободно оперировать понятиями: чётные и нечётные функции,
периодические функции, промежутки монотонности функции, максимумы и
минимумы функции, наибольшее и наименьшее значение функции на
промежутке;
свободно оперировать понятиями: степенная функция с натуральным и
целым показателем, график степенной функции с натуральным и целым
показателем, график корня n-ой степени как функции обратной степени с
натуральным показателем;
оперировать понятиями: линейная, квадратичная и дробно-линейная
функции, выполнять элементарное исследование и построение их графиков;
свободно оперировать понятиями: показательная и логарифмическая
функции, их свойства и графики, использовать их графики для решения
уравнений;
свободно оперировать понятиями: тригонометрическая окружность,
определение тригонометрических функций числового аргумента;
использовать графики функций для исследования процессов и
зависимостей при решении задач из других учебных предметов и реальной
жизни, выражать формулами зависимости между величинами;
15
Начала математического анализа:
свободно оперировать понятиями: арифметическая и геометрическая
прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, линейный и
экспоненциальный рост, формула сложных процентов, иметь представление
о константе;
использовать прогрессии для решения реальных задач прикладного
характера;
свободно оперировать понятиями: последовательность, способы задания
последовательностей, монотонные и ограниченные последовательности,
понимать основы зарождения математического анализа как анализа
бесконечно малых;
свободно оперировать понятиями: непрерывные функции, точки
разрыва графика функции, асимптоты графика функции;
свободно оперировать понятием: функция, непрерывная на отрезке,
применять свойства непрерывных функций для решения задач;
свободно оперировать понятиями: первая и вторая производные
функции, касательная к графику функции;
вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции
двух функций, знать производные элементарных функций;
использовать геометрический и физический смысл производной для
решения задач.
Множества и логика:
свободно оперировать понятиями: множество, операции над
множествами;
использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов;
свободно оперировать понятиями: определение, теорема, уравнениеследствие, свойство математического объекта, доказательство, равносильные
уравнения и неравенства.
К концу обучения в 11 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты по отдельным темам рабочей программы учебного
курса «Алгебра и начала математического анализа»:
Числа и вычисления:
свободно оперировать понятиями: натуральное и целое число,
множества натуральных и целых чисел, использовать признаки делимости
целых чисел, НОД и НОК натуральных чисел для решения задач, применять
алгоритм Евклида;
свободно оперировать понятием остатка по модулю, записывать
натуральные числа в различных позиционных системах счисления;
16
свободно оперировать понятиями: комплексное число и множество
комплексных чисел, представлять комплексные числа в алгебраической и
тригонометрической форме, выполнять арифметические операции с ними и
изображать на координатной плоскости.
Уравнения и неравенства:
свободно оперировать понятиями: иррациональные, показательные и
логарифмические неравенства, находить их решения с помощью
равносильных переходов;
осуществлять отбор корней при решении тригонометрического
уравнения;
свободно оперировать понятием тригонометрическое неравенство,
применять необходимые формулы для решения основных типов
тригонометрических неравенств;
свободно оперировать понятиями: система и совокупность уравнений и
неравенств, равносильные системы и системы-следствия, находить решения
системы и совокупностей рациональных, иррациональных, показательных и
логарифмических уравнений и неравенств;
решать
рациональные,
иррациональные,
показательные,
логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства,
содержащие модули и параметры;
применять графические методы для решения уравнений и неравенств, а
также задач с параметрами;
моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи,
исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры,
интерпретировать полученный результат.
Функции и графики:
строить графики композиции функций с помощью элементарного
исследования и свойств композиции двух функций;
строить геометрические образы уравнений и неравенств на
координатной плоскости;
свободно оперировать понятиями: графики тригонометрических
функций;
применять функции для моделирования и исследования реальных
процессов.
Начала математического анализа:
использовать производную для исследования функции на монотонность
и экстремумы;
17
находить наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной на
отрезке;
использовать производную для нахождения наилучшего решения в
прикладных, в том числе социально-экономических, задачах, для
определения скорости и ускорения процесса, заданного формулой или
графиком;
свободно оперировать понятиями: первообразная, определённый
интеграл, находить первообразные элементарных функций и вычислять
интеграл по формуле Ньютона-Лейбница;
находить площади плоских фигур и объёмы тел с помощью интеграла;
иметь представление о математическом моделировании на примере
составления дифференциальных уравнений;
решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и
физического характера, средствами математического анализа.
18
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
Количество часов
№
п/п
Наименование разделов и тем
программы
Контрольные
работы
Всего
1
Множество действительных чисел.
Многочлены. Рациональные уравнения и
неравенства. Системы линейных
уравнений
24
1
2
Функции и графики. Степенная функция с
целым показателем
12
1
3
Арифметический корень n-ой степени.
Иррациональные уравнения
15
1
4
Показательная функция. Показательные
уравнения
10
1
5
Логарифмическая функция.
Логарифмические уравнения
18
1
6
Тригонометрические выражения и
уравнения
22
1
7
Последовательности и прогрессии
10
1
8
Непрерывные функции. Производная
20
1
9
Повторение, обобщение, систематизация
знаний
5
2
136
10
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
19
Практические
работы
0
Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы
11 КЛАСС
Количество часов
№
п/п
Наименование разделов и тем
программы
Контрольные
работы
Всего
1
Исследование функций с помощью
производной
22
1
2
Первообразная и интеграл
12
1
3
Графики тригонометрических функций.
Тригонометрические неравенства
14
1
4
Иррациональные, показательные и
логарифмические неравенства
24
1
5
Комплексные числа
10
1
6
Натуральные и целые числа
10
1
7
Системы рациональных, иррациональных
показательных и логарифмических
уравнений
12
1
8
Задачи с параметрами
16
1
9
Повторение, обобщение, систематизация
знаний
16
2
136
10
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
20
Практические
работы
0
Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы
21
ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
Количество часов
№
п/п
Тема урока
Всего
Контрольные
работы
Практические
работы
Дата
изучения
Электронные
цифровые
образовательные
ресурсы
1
Множество, операции над
множествами и их свойства
1
02.09.2026
https://m.edsoo.ru/1255f795
2
Диаграммы Эйлера-Венна
1
02.09.2026
https://m.edsoo.ru/83bfefd5
3
Применение теоретикомножественного аппарата для
решения задач
1
04.09.2026
https://m.edsoo.ru/ba1ad981
4
Рациональные числа.
Обыкновенные и десятичные дроби,
проценты, бесконечные
периодические дроби
1
04.09.2026
https://m.edsoo.ru/c6418b52
5
Рациональные числа.
Обыкновенные и десятичные дроби,
проценты, бесконечные
периодические дроби
1
09.09.2026
https://m.edsoo.ru/673172bf
6
Применение дробей и процентов
для решения прикладных задач
1
09.09.2026
https://m.edsoo.ru/cbd8277d
7
Применение дробей и процентов
для решения прикладных задач
1
11.09.2026
https://m.edsoo.ru/b4e281fd
8
Действительные числа.
Рациональные и иррациональные
числа
1
11.09.2026
https://m.edsoo.ru/14c4868a
9
Арифметические операции с
действительными числами
1
16.09.2026
https://m.edsoo.ru/abc2d62f
10
Модуль действительного числа и
его свойства
1
16.09.2026
https://m.edsoo.ru/37b24378
11
Приближённые вычисления,
правила округления, прикидка и
оценка результата вычислений
1
18.09.2026
https://m.edsoo.ru/d83a96ca
12
Основные методы решения целых и
дробно-рациональных уравнений и
неравенств
1
18.09.2026
https://m.edsoo.ru/99b5ac47
13
Основные методы решения целых и
дробно-рациональных уравнений и
неравенств
1
23.09.2026
https://m.edsoo.ru/143d7ca1
14
Основные методы решения целых и
дробно-рациональных уравнений и
неравенств
1
23.09.2026
https://m.edsoo.ru/e3d2ad84
15
Многочлены от одной переменной.
Деление многочлена на многочлен с
остатком. Теорема Безу
1
25.09.2026
https://m.edsoo.ru/1c7a1ba5
16
Многочлены с целыми
коэффициентами. Теорема Виета
1
25.09.2026
https://m.edsoo.ru/ff149ca8
17
Решение систем линейных
уравнений
1
30.09.2026
https://m.edsoo.ru/55fa9bfa
18
Решение систем линейных
уравнений
1
30.09.2026
https://m.edsoo.ru/1c76cbca
19
Матрица системы линейных
уравнений. Определитель матрицы
2×2, его геометрический смысл и
1
02.10.2026
https://m.edsoo.ru/ee5c2192
23
свойства; вычисление его значения
20
Определитель матрицы 2×2, его
геометрический смысл и свойства;
вычисление его значения
1
02.10.2026
https://m.edsoo.ru/b128feb1
21
Применение определителя для
решения системы линейных
уравнений
1
07.10.2026
https://m.edsoo.ru/f67bed83
22
Решение прикладных задач с
помощью системы линейных
уравнений
1
07.10.2026
https://m.edsoo.ru/aa76e19a
23
Решение прикладных задач с
помощью системы линейных
уравнений
1
09.10.2026
https://m.edsoo.ru/e49a9dc1
24
Контрольная работа:
"Рациональные уравнения и
неравенства. Системы линейных
уравнений"
1
09.10.2026
https://m.edsoo.ru/5b4ba92e
25
Функция, способы задания
функции. Взаимно обратные
функции. Композиция функций
1
14.10.2026
https://m.edsoo.ru/3572687c
26
График функции. Элементарные
преобразования графиков функций
1
14.10.2026
https://m.edsoo.ru/18c5661b
27
Область определения и множество
значений функции. Нули функции.
Промежутки знак постоянства
1
16.10.2026
https://m.edsoo.ru/69a4e756
28
Чётные и нечётные функции.
Периодические функции.
Промежутки монотонности
1
16.10.2026
https://m.edsoo.ru/71218abf
1
24
функции
29
Максимумы и минимумы функции.
Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
1
21.10.2026
https://m.edsoo.ru/78811d9e
30
Линейная, квадратичная и дробнолинейная функции
1
21.10.2026
https://m.edsoo.ru/dfa228e8
31
Элементарное исследование и
построение графиков этих функций
1
23.10.2026
https://m.edsoo.ru/75c82289
32
Элементарное исследование и
построение графиков этих функций
1
23.10.2026
https://m.edsoo.ru/44e7e845
33
Степень с целым показателем.
Бином Ньютона
1
06.11.2026
https://m.edsoo.ru/6364696a
34
Степень с целым показателем.
Бином Ньютона
1
06.11.2026
https://m.edsoo.ru/1933a74a
35
Степенная функция с натуральным
и целым показателем. Её свойства и
график
1
11.11.2026
https://m.edsoo.ru/b2a46ef9
36
Контрольная работа: "Степенная
функция. Её свойства и график"
1
11.11.2026
https://m.edsoo.ru/24c794c5
37
Арифметический корень
натуральной степени и его свойства
1
13.11.2026
https://m.edsoo.ru/bdc5ac39
38
Арифметический корень
натуральной степени и его свойства
1
13.11.2026
https://m.edsoo.ru/25ff7722
39
Преобразования числовых
выражений, содержащих степени и
корни
1
18.11.2026
https://m.edsoo.ru/3673781c
40
Преобразования числовых
1
18.11.2026
https://m.edsoo.ru/dea3b98e
1
25
выражений, содержащих степени и
корни
41
Преобразования числовых
выражений, содержащих степени и
корни
1
20.11.2026
https://m.edsoo.ru/1b14b4d6
42
Иррациональные уравнения.
Основные методы решения
иррациональных уравнений
1
20.11.2026
https://m.edsoo.ru/26ad77de
43
Иррациональные уравнения.
Основные методы решения
иррациональных уравнений
1
25.11.2026
https://m.edsoo.ru/a1276618
44
Иррациональные уравнения.
Основные методы решения
иррациональных уравнений
1
25.11.2026
https://m.edsoo.ru/b2578f49
45
Равносильные переходы в решении
иррациональных уравнений
1
27.11.2026
https://m.edsoo.ru/87b79e5d
46
Равносильные переходы в решении
иррациональных уравнений
1
27.11.2026
https://m.edsoo.ru/4bb9262e
47
Равносильные переходы в решении
иррациональных уравнений
1
02.12.2026
https://m.edsoo.ru/4ed62431
48
Равносильные переходы в решении
иррациональных уравнений
1
02.12.2026
https://m.edsoo.ru/da65eaac
49
Свойства и график корня n-ой
степени как функции обратной
степени с натуральным показателем
1
04.12.2026
https://m.edsoo.ru/2aeca91f
50
Свойства и график корня n-ой
степени как функции обратной
степени с натуральным показателем
1
04.12.2026
https://m.edsoo.ru/942e9baf
26
51
Контрольная работа: "Свойства и
график корня n-ой степени.
Иррациональные уравнения"
1
52
Степень с рациональным
показателем и её свойства
53
1
09.12.2026
https://m.edsoo.ru/21f372b4
1
09.12.2026
https://m.edsoo.ru/92cdb3eb
Степень с рациональным
показателем и её свойства
1
11.12.2026
https://m.edsoo.ru/b3e63dd3
54
Степень с рациональным
показателем и её свойства
1
11.12.2026
https://m.edsoo.ru/c688a2e5
55
Показательная функция, её свойства
и график
1
16.12.2026
https://m.edsoo.ru/e54932a2
56
Использование графика функции
для решения уравнений
1
16.12.2026
https://m.edsoo.ru/ae2f6e85
57
Использование графика функции
для решения уравнений
1
18.12.2026
https://m.edsoo.ru/e59ed2e1
58
Показательные уравнения.
Основные методы решения
показательных уравнений
1
18.12.2026
https://m.edsoo.ru/66434be6
59
Показательные уравнения.
Основные методы решения
показательных уравнений
1
23.12.2026
https://m.edsoo.ru/2b55a65f
60
Показательные уравнения.
Основные методы решения
показательных уравнений
1
23.12.2026
https://m.edsoo.ru/ca5b5663
61
Контрольная работа:
"Показательная функция.
Показательные уравнения"
1
25.12.2026
https://m.edsoo.ru/981bd484
62
Логарифм числа. Свойства
1
25.12.2026
https://m.edsoo.ru/6996b38a
1
27
логарифма
63
Логарифм числа. Свойства
логарифма
1
13.01.2027
https://m.edsoo.ru/32c74b52
64
Логарифм числа. Свойства
логарифма
1
13.01.2027
https://m.edsoo.ru/9ce4e695
65
Десятичные и натуральные
логарифмы
1
15.01.2027
https://m.edsoo.ru/b83ab9f5
66
Десятичные и натуральные
логарифмы
1
15.01.2027
https://m.edsoo.ru/dd5c15f2
67
Преобразование выражений,
содержащих логарифмы
1
20.01.2027
https://m.edsoo.ru/e89a71d1
68
Преобразование выражений,
содержащих логарифмы
1
20.01.2027
https://m.edsoo.ru/b54bf4ab
69
Преобразование выражений,
содержащих логарифмы
1
22.01.2027
https://m.edsoo.ru/e4e7668f
70
Логарифмическая функция, её
свойства и график
1
22.01.2027
https://m.edsoo.ru/c73dac79
71
Логарифмическая функция, её
свойства и график
1
27.01.2027
https://m.edsoo.ru/8f13f8a4
72
Использование графика функции
для решения уравнений
1
27.01.2027
https://m.edsoo.ru/4fd8798b
73
Использование графика функции
для решения уравнений
1
29.01.2027
https://m.edsoo.ru/dc551efd
74
Логарифмические уравнения.
Основные методы решения
логарифмических уравнений
1
29.01.2027
https://m.edsoo.ru/24475d87
75
Логарифмические уравнения.
1
03.02.2027
https://m.edsoo.ru/754b14c8
28
Основные методы решения
логарифмических уравнений
76
Логарифмические уравнения.
Основные методы решения
логарифмических уравнений
1
03.02.2027
https://m.edsoo.ru/96138576
77
Равносильные переходы в решении
логарифмических уравнений
1
05.02.2027
https://m.edsoo.ru/87c45ab8
78
Равносильные переходы в решении
логарифмических уравнений
1
05.02.2027
https://m.edsoo.ru/23de51d3
79
Контрольная работа:
"Логарифмическая функция.
Логарифмические уравнения"
1
10.02.2027
https://m.edsoo.ru/85a69d2c
80
Синус, косинус, тангенс и котангенс
числового аргумента
1
10.02.2027
https://m.edsoo.ru/5353993d
81
Синус, косинус, тангенс и котангенс
числового аргумента
1
12.02.2027
https://m.edsoo.ru/467176b5
82
Арксинус, арккосинус и арктангенс
числового аргумента
1
12.02.2027
https://m.edsoo.ru/3bd79b2b
83
Арксинус, арккосинус и арктангенс
числового аргумента
1
17.02.2027
https://m.edsoo.ru/e588666f
84
Тригонометрическая окружность,
определение тригонометрических
функций числового аргумента
1
17.02.2027
https://m.edsoo.ru/8732a6b8
85
Тригонометрическая окружность,
определение тригонометрических
функций числового аргумента
1
19.02.2027
https://m.edsoo.ru/8985f3f8
86
Основные тригонометрические
формулы
1
19.02.2027
https://m.edsoo.ru/1876a71f
1
29
87
Основные тригонометрические
формулы
1
24.02.2027
https://m.edsoo.ru/ba6b3e3e
88
Основные тригонометрические
формулы
1
24.02.2027
https://m.edsoo.ru/9ed2eee4
89
Основные тригонометрические
формулы
1
26.02.2027
https://m.edsoo.ru/6acdea85
90
Преобразование
тригонометрических выражений
1
26.02.2027
https://m.edsoo.ru/e73bfc21
91
Преобразование
тригонометрических выражений
1
03.03.2027
https://m.edsoo.ru/a3ec7ea1
92
Преобразование
тригонометрических выражений
1
03.03.2027
https://m.edsoo.ru/294de3d6
93
Преобразование
тригонометрических выражений
1
05.03.2027
https://m.edsoo.ru/8a7943db
94
Решение тригонометрических
уравнений
1
05.03.2027
https://m.edsoo.ru/8bda54be
95
Решение тригонометрических
уравнений
1
10.03.2027
https://m.edsoo.ru/3b3fcef4
96
Решение тригонометрических
уравнений
1
10.03.2027
https://m.edsoo.ru/16233155
97
Решение тригонометрических
уравнений
1
12.03.2027
https://m.edsoo.ru/c7eedb68
98
Решение тригонометрических
уравнений
1
12.03.2027
https://m.edsoo.ru/17efeea7
99
Решение тригонометрических
уравнений
1
17.03.2027
https://m.edsoo.ru/c7fa9769
100
Решение тригонометрических
1
17.03.2027
https://m.edsoo.ru/452282d8
30
уравнений
101
Контрольная работа:
"Тригонометрические выражения и
тригонометрические уравнения"
1
102
Последовательности, способы
задания последовательностей.
Метод математической индукции
1
19.03.2027
https://m.edsoo.ru/e5c9db1b
1
19.03.2027
https://m.edsoo.ru/15f53b52
103
Монотонные и ограниченные
последовательности. История
анализа бесконечно малых
1
31.03.2027
https://m.edsoo.ru/8b2841f5
104
Арифметическая прогрессия
1
31.03.2027
https://m.edsoo.ru/7125ba54
105
Геометрическая прогрессия
1
02.04.2027
https://m.edsoo.ru/9e1a4eff
106
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
1
02.04.2027
https://m.edsoo.ru/9b6297a8
107
Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
1
07.04.2027
https://m.edsoo.ru/6a2f764b
108
Линейный и экспоненциальный
рост. Число е. Формула сложных
процентов
1
07.04.2027
https://m.edsoo.ru/7c496ec1
109
Линейный и экспоненциальный
рост. Число е. Формула сложных
процентов
1
09.04.2027
https://m.edsoo.ru/2e3b6f82
110
Использование прогрессии для
решения реальных задач
прикладного характера
1
09.04.2027
https://m.edsoo.ru/8431614d
111
Контрольная работа:
"Последовательности и прогрессии"
1
14.04.2027
https://m.edsoo.ru/e4cc3c8f
1
31
112
Непрерывные функции и их
свойства
1
14.04.2027
https://m.edsoo.ru/c713449d
113
Точка разрыва. Асимптоты
графиков функций
1
16.04.2027
https://m.edsoo.ru/72834b6d
114
Свойства функций непрерывных на
отрезке
1
16.04.2027
https://m.edsoo.ru/518fd95d
115
Свойства функций непрерывных на
отрезке
1
21.04.2027
https://m.edsoo.ru/6aa2242c
116
Метод интервалов для решения
неравенств
1
21.04.2027
https://m.edsoo.ru/983c4bf7
117
Метод интервалов для решения
неравенств
1
23.04.2027
https://m.edsoo.ru/79dcc343
118
Метод интервалов для решения
неравенств
1
23.04.2027
https://m.edsoo.ru/42262dbf
119
Применение свойств непрерывных
функций для решения задач
1
28.04.2027
https://m.edsoo.ru/ca96725f
120
Применение свойств непрерывных
функций для решения задач
1
28.04.2027
https://m.edsoo.ru/17286267
121
Первая и вторая производные
функции
1
30.04.2027
https://m.edsoo.ru/a966531b
122
Определение, геометрический
смысл производной
1
30.04.2027
https://m.edsoo.ru/bfb748b1
123
Определение, физический смысл
производной
1
05.05.2027
https://m.edsoo.ru/4c2b1416
124
Уравнение касательной к графику
функции
1
05.05.2027
https://m.edsoo.ru/bfc1b543
125
Уравнение касательной к графику
1
07.05.2027
https://m.edsoo.ru/912be4f3
32
функции
126
Производные элементарных
функций
1
07.05.2027
https://m.edsoo.ru/3226affc
127
Производные элементарных
функций
1
12.05.2027
https://m.edsoo.ru/87a6f8a5
128
Производная суммы, произведения,
частного и композиции функций
1
12.05.2027
https://m.edsoo.ru/26fa41b9
129
Производная суммы, произведения,
частного и композиции функций
1
14.05.2027
https://m.edsoo.ru/44876d3a
130
Производная суммы, произведения,
частного и композиции функций
1
14.05.2027
https://m.edsoo.ru/3984aa6c
131
Контрольная работа: "Производная"
1
19.05.2027
https://m.edsoo.ru/cd83e15d
132
Повторение, обобщение,
систематизация знаний:
"Уравнения"
1
19.05.2027
https://m.edsoo.ru/aecb94ba
133
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Функции"
1
21.05.2027
https://m.edsoo.ru/6c985843
134
Итоговая контрольная работа
1
1
21.05.2027
https://m.edsoo.ru/4b13ba64
135
Итоговая контрольная работа
1
1
26.05.2027
https://m.edsoo.ru/df719817
136
Повторение, обобщение,
систематизация знаний
1
26.05.2027
https://m.edsoo.ru/48271c3c
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
136
1
10
33
0
11 КЛАСС
Количество часов
№
п/п
Тема урока
Всего
Контрольные
работы
Практические
работы
Дата
изучения
Электронные
цифровые
образовательные
ресурсы
1
Применение производной к
исследованию функций на
монотонность и экстремумы
1
02.09.2026
https://m.edsoo.ru/72b24fd7
2
Применение производной к
исследованию функций на
монотонность и экстремумы
1
02.09.2026
https://m.edsoo.ru/a1c89b24
3
Применение производной к
исследованию функций на
монотонность и экстремумы
1
04.09.2026
https://m.edsoo.ru/c165191e
4
Применение производной к
исследованию функций на
монотонность и экстремумы
1
04.09.2026
https://m.edsoo.ru/787de17d
5
Применение производной к
исследованию функций на
монотонность и экстремумы
1
09.09.2026
https://m.edsoo.ru/b4fdf8fe
6
Применение производной к
исследованию функций на
монотонность и экстремумы
1
09.09.2026
https://m.edsoo.ru/d4a7b6f7
7
Нахождение наибольшего и
наименьшего значения
непрерывной функции на отрезке
1
11.09.2026
https://m.edsoo.ru/4c15f33d
8
Нахождение наибольшего и
1
11.09.2026
https://m.edsoo.ru/a4f28db4
34
наименьшего значения
непрерывной функции на отрезке
9
Нахождение наибольшего и
наименьшего значения
непрерывной функции на отрезке
1
16.09.2026
https://m.edsoo.ru/36697f39
10
Нахождение наибольшего и
наименьшего значения
непрерывной функции на отрезке
1
16.09.2026
https://m.edsoo.ru/77268c2b
11
Нахождение наибольшего и
наименьшего значения
непрерывной функции на отрезке
1
18.09.2026
https://m.edsoo.ru/7ba11134
12
Нахождение наибольшего и
наименьшего значения
непрерывной функции на отрезке
1
18.09.2026
https://m.edsoo.ru/b8438d9b
13
Применение производной для
нахождения наилучшего решения в
прикладных задачах
1
23.09.2026
https://m.edsoo.ru/9c594e6d
14
Применение производной для
нахождения наилучшего решения в
прикладных задачах
1
23.09.2026
https://m.edsoo.ru/b27235ee
15
Применение производной для
определения скорости и ускорения
процесса, заданного формулой или
графиком
1
25.09.2026
https://m.edsoo.ru/59e47d67
16
Применение производной для
определения скорости и ускорения
процесса, заданного формулой или
графиком
1
25.09.2026
https://m.edsoo.ru/971f5943
35
17
Композиция функций
1
30.09.2026
https://m.edsoo.ru/25a29552
18
Композиция функций
1
30.09.2026
https://m.edsoo.ru/8d86b63b
19
Композиция функций
1
02.10.2026
https://m.edsoo.ru/6cf3dbe4
20
Геометрические образы уравнений
на координатной плоскости
1
02.10.2026
https://m.edsoo.ru/5964bd28
21
Геометрические образы уравнений
на координатной плоскости
1
07.10.2026
https://m.edsoo.ru/13bca2d3
22
Контрольная работа:
"Исследование функций с
помощью производной"
1
07.10.2026
https://m.edsoo.ru/45e836e7
23
Первообразная, основное свойство
первообразных
1
09.10.2026
https://m.edsoo.ru/d6b88931
24
Первообразные элементарных
функций. Правила нахождения
первообразных
1
09.10.2026
https://m.edsoo.ru/a872a135
25
Первообразные элементарных
функций. Правила нахождения
первообразных
1
14.10.2026
https://m.edsoo.ru/ecbb5cd3
26
Интеграл. Геометрический смысл
интеграла
1
14.10.2026
https://m.edsoo.ru/9a928cae
27
Вычисление определённого
интеграла по формуле НьютонаЛейбница
1
16.10.2026
https://m.edsoo.ru/ca9bec52
28
Вычисление определённого
интеграла по формуле НьютонаЛейбница
1
16.10.2026
https://m.edsoo.ru/972a1115
29
Применение интеграла для
1
21.10.2026
https://m.edsoo.ru/8893e18d
1
36
нахождения площадей плоских
фигур
30
Применение интеграла для
нахождения объёмов
геометрических тел
1
21.10.2026
https://m.edsoo.ru/5a81da96
31
Примеры решений
дифференциальных уравнений
1
23.10.2026
https://m.edsoo.ru/eba4834c
32
Примеры решений
дифференциальных уравнений
1
23.10.2026
https://m.edsoo.ru/29e9aba6
33
Математическое моделирование
реальных процессов с помощью
дифференциальных уравнений
1
06.11.2026
https://m.edsoo.ru/4587db4c
34
Контрольная работа:
"Первообразная и интеграл"
1
06.11.2026
https://m.edsoo.ru/35d34e25
35
Тригонометрические функции, их
свойства и графики
1
11.11.2026
https://m.edsoo.ru/8294d298
36
Тригонометрические функции, их
свойства и графики
1
11.11.2026
https://m.edsoo.ru/be4fdc16
37
Тригонометрические функции, их
свойства и графики
1
13.11.2026
https://m.edsoo.ru/24d99a13
38
Тригонометрические функции, их
свойства и графики
1
13.11.2026
https://m.edsoo.ru/dc3ad111
39
Тригонометрические функции, их
свойства и графики
1
18.11.2026
https://m.edsoo.ru/18a64ffa
40
Отбор корней тригонометрических
уравнений с помощью
тригонометрической окружности
1
18.11.2026
https://m.edsoo.ru/ec1a2fc7
1
37
41
Отбор корней тригонометрических
уравнений с помощью
тригонометрической окружности
1
20.11.2026
https://m.edsoo.ru/4e3fd474
42
Отбор корней тригонометрических
уравнений с помощью
тригонометрической окружности
1
20.11.2026
https://m.edsoo.ru/c2e7c593
43
Отбор корней тригонометрических
уравнений с помощью
тригонометрической окружности
1
25.11.2026
https://m.edsoo.ru/c2fd7f3f
44
Решение тригонометрических
неравенств
1
25.11.2026
https://m.edsoo.ru/1a2229a7
45
Решение тригонометрических
неравенств
1
27.11.2026
https://m.edsoo.ru/9eb6285f
46
Решение тригонометрических
неравенств
1
27.11.2026
https://m.edsoo.ru/c4ea39e4
47
Решение тригонометрических
неравенств
1
02.12.2026
https://m.edsoo.ru/552f882c
48
Контрольная работа: "Графики
тригонометрических функций.
Тригонометрические неравенства"
1
02.12.2026
https://m.edsoo.ru/d269fbf8
49
Основные методы решения
показательных неравенств
1
04.12.2026
https://m.edsoo.ru/81c3dd2c
50
Основные методы решения
показательных неравенств
1
04.12.2026
https://m.edsoo.ru/17dc6ff1
51
Основные методы решения
показательных неравенств
1
09.12.2026
https://m.edsoo.ru/793cad36
52
Основные методы решения
показательных неравенств
1
09.12.2026
https://m.edsoo.ru/235985a4
1
38
53
Основные методы решения
логарифмических неравенств
1
11.12.2026
https://m.edsoo.ru/5a81cdb2
54
Основные методы решения
логарифмических неравенств
1
11.12.2026
https://m.edsoo.ru/91498ea5
55
Основные методы решения
логарифмических неравенств
1
16.12.2026
https://m.edsoo.ru/5b7d4dc6
56
Основные методы решения
логарифмических неравенств
1
16.12.2026
https://m.edsoo.ru/d223d229
57
Основные методы решения
иррациональных неравенств
1
18.12.2026
https://m.edsoo.ru/15dc7746
58
Основные методы решения
иррациональных неравенств
1
18.12.2026
https://m.edsoo.ru/271334a9
59
Основные методы решения
иррациональных неравенств
1
23.12.2026
https://m.edsoo.ru/5dd722d8
60
Основные методы решения
иррациональных неравенств
1
23.12.2026
https://m.edsoo.ru/b1fe93ee
61
Графические методы решения
иррациональных уравнений
1
25.12.2026
https://m.edsoo.ru/fed1b92b
62
Графические методы решения
иррациональных уравнений
1
25.12.2026
https://m.edsoo.ru/cd24f4c7
63
Графические методы решения
показательных уравнений
1
13.01.2027
https://m.edsoo.ru/22d6f222
64
Графические методы решения
показательных неравенств
1
13.01.2027
https://m.edsoo.ru/2bef6717
65
Графические методы решения
логарифмических уравнений
1
15.01.2027
https://m.edsoo.ru/aafb357c
66
Графические методы решения
1
15.01.2027
https://m.edsoo.ru/9ac2bfb2
39
логарифмических неравенств
67
Графические методы решения
логарифмических неравенств
1
20.01.2027
https://m.edsoo.ru/4d21fb76
68
Графические методы решения
показательных и логарифмических
уравнений
1
20.01.2027
https://m.edsoo.ru/6aaef75a
69
Графические методы решения
показательных и логарифмических
уравнений
1
22.01.2027
https://m.edsoo.ru/acd32149
70
Графические методы решения
показательных и логарифмических
неравенств
1
22.01.2027
https://m.edsoo.ru/fffb2d68
71
Графические методы решения
показательных и логарифмических
неравенств
1
27.01.2027
https://m.edsoo.ru/a2b88522
72
Контрольная работа:
"Иррациональные, показательные и
логарифмические неравенства"
1
27.01.2027
https://m.edsoo.ru/d81de93b
73
Комплексные числа.
Алгебраическая и
тригонометрическая формы записи
комплексного числа
1
29.01.2027
https://m.edsoo.ru/d8bd6631
74
Комплексные числа.
Алгебраическая и
тригонометрическая формы записи
комплексного числа
1
29.01.2027
https://m.edsoo.ru/187c44ac
75
Арифметические операции с
комплексными числами
1
03.02.2027
https://m.edsoo.ru/73341746
1
40
76
Арифметические операции с
комплексными числами
1
03.02.2027
https://m.edsoo.ru/57629985
77
Изображение комплексных чисел
на координатной плоскости
1
05.02.2027
https://m.edsoo.ru/8c93cbd7
78
Изображение комплексных чисел
на координатной плоскости
1
05.02.2027
https://m.edsoo.ru/3a41cc66
79
Формула Муавра. Корни n-ой
степени из комплексного числа
1
10.02.2027
https://m.edsoo.ru/a5be4ee8
80
Формула Муавра. Корни n-ой
степени из комплексного числа
1
10.02.2027
https://m.edsoo.ru/22b1ca52
81
Применение комплексных чисел
для решения физических и
геометрических задач
1
12.02.2027
https://m.edsoo.ru/287818af
82
Контрольная работа: "Комплексные
числа"
1
12.02.2027
https://m.edsoo.ru/63be536f
83
Натуральные и целые числа
1
17.02.2027
https://m.edsoo.ru/46736c23
84
Натуральные и целые числа
1
17.02.2027
https://m.edsoo.ru/a7bcc942
85
Применение признаков делимости
целых чисел
1
19.02.2027
https://m.edsoo.ru/b162b7ca
86
Применение признаков делимости
целых чисел
1
19.02.2027
https://m.edsoo.ru/68bb5921
87
Применение признаков делимости
целых чисел: НОД и НОК
1
24.02.2027
https://m.edsoo.ru/bdb89cca
88
Применение признаков делимости
целых чисел: НОД и НОК
1
24.02.2027
https://m.edsoo.ru/a85cdd79
89
Применение признаков делимости
целых чисел: остатки по модулю
1
26.02.2027
https://m.edsoo.ru/f636c614
1
41
90
Применение признаков делимости
целых чисел: остатки по модулю
1
26.02.2027
https://m.edsoo.ru/edc239c4
91
Применение признаков делимости
целых чисел: алгоритм Евклида для
решения задач в целых числах
1
03.03.2027
https://m.edsoo.ru/77a47562
92
Контрольная работа: "Теория
целых чисел"
1
03.03.2027
https://m.edsoo.ru/fdb581a2
93
Система и совокупность
уравнений. Равносильные системы
и системы-следствия
1
05.03.2027
https://m.edsoo.ru/e1745b95
94
Система и совокупность
уравнений. Равносильные системы
и системы-следствия
1
05.03.2027
https://m.edsoo.ru/655dd6fb
95
Основные методы решения систем
и совокупностей рациональных
уравнений
1
10.03.2027
https://m.edsoo.ru/e17f79ce
96
Основные методы решения систем
и совокупностей иррациональных
уравнений
1
10.03.2027
https://m.edsoo.ru/34c15bc1
97
Основные методы решения систем
и совокупностей показательных
уравнений
1
12.03.2027
https://m.edsoo.ru/bbd36d23
98
Основные методы решения систем
и совокупностей показательных
уравнений
1
12.03.2027
https://m.edsoo.ru/636c7cd8
99
Основные методы решения систем
и совокупностей логарифмических
уравнений
1
17.03.2027
https://m.edsoo.ru/a2dac63a
1
42
100
Основные методы решения систем
и совокупностей логарифмических
уравнений
1
17.03.2027
https://m.edsoo.ru/c96be5d2
101
Применение систем к решению
математических задач и задач из
различных областей науки и
реальной жизни, интерпретация
полученных результатов
1
19.03.2027
https://m.edsoo.ru/6393645c
102
Применение систем к решению
математических задач и задач из
различных областей науки и
реальной жизни, интерпретация
полученных результатов
1
19.03.2027
https://m.edsoo.ru/48a35649
103
Применение неравенств к решению
математических задач и задач из
различных областей науки и
реальной жизни, интерпретация
полученных результатов
1
31.03.2027
https://m.edsoo.ru/7fcf8c11
104
Контрольная работа: "Системы
рациональных, иррациональных
показательных и логарифмических
уравнений"
1
31.03.2027
https://m.edsoo.ru/9922183a
105
Рациональные уравнения с
параметрами
1
02.04.2027
https://m.edsoo.ru/c1213849
106
Рациональные неравенства с
параметрами
1
02.04.2027
https://m.edsoo.ru/2cfac246
107
Рациональные системы с
параметрами
1
07.04.2027
https://m.edsoo.ru/57d45bab
1
43
108
Иррациональные уравнения,
неравенства с параметрами
1
07.04.2027
https://m.edsoo.ru/b5ba1f6a
109
Иррациональные системы с
параметрами
1
09.04.2027
https://m.edsoo.ru/3f2c9546
110
Показательные уравнения,
неравенства с параметрами
1
09.04.2027
https://m.edsoo.ru/8b48e9c2
111
Показательные системы с
параметрами
1
14.04.2027
https://m.edsoo.ru/e627c75e
112
Логарифмические уравнения,
неравенства с параметрами
1
14.04.2027
https://m.edsoo.ru/b88a8a1f
113
Логарифмические системы с
параметрами
1
16.04.2027
https://m.edsoo.ru/c59fc125
114
Тригонометрические уравнения с
параметрами
1
16.04.2027
https://m.edsoo.ru/e1788242
115
Тригонометрические неравенства с
параметрами
1
21.04.2027
https://m.edsoo.ru/c82157b1
116
Тригонометрические системы с
параметрами
1
21.04.2027
https://m.edsoo.ru/85ea8653
117
Построение и исследование
математических моделей реальных
ситуаций с помощью уравнений с
параметрами
1
23.04.2027
https://m.edsoo.ru/1346597e
118
Построение и исследование
математических моделей реальных
ситуаций с помощью систем
уравнений с параметрами
1
23.04.2027
https://m.edsoo.ru/8ddcc5f8
119
Построение и исследование
математических моделей реальных
1
28.04.2027
https://m.edsoo.ru/dc15e1bc
44
ситуаций с помощью систем
уравнений с параметрами
120
Контрольная работа: "Задачи с
параметрами"
1
121
Повторение, обобщение,
систематизация знаний:
"Уравнения"
1
28.04.2027
https://m.edsoo.ru/8bb56815
1
30.04.2027
https://m.edsoo.ru/5e14c2d2
122
Повторение, обобщение,
систематизация знаний:
"Уравнения"
1
30.04.2027
https://m.edsoo.ru/88fa2b1f
123
Повторение, обобщение,
систематизация знаний:
"Уравнения. Системы уравнений"
1
05.05.2027
https://m.edsoo.ru/6e596f46
124
Повторение, обобщение,
систематизация знаний:
"Неравенства"
1
05.05.2027
https://m.edsoo.ru/bba6a8b8
125
Повторение, обобщение,
систематизация знаний:
"Неравенства"
1
07.05.2027
https://m.edsoo.ru/59e1c5cc
126
Повторение, обобщение,
систематизация знаний:
"Неравенства"
1
07.05.2027
https://m.edsoo.ru/bb2f11dc
127
Повторение, обобщение,
систематизация знаний:
"Производная и её применение"
1
12.05.2027
https://m.edsoo.ru/c9135a1a
128
Повторение, обобщение,
систематизация знаний:
"Производная и её применение"
1
12.05.2027
https://m.edsoo.ru/e8d66c2a
45
129
Повторение, обобщение,
систематизация знаний:
"Производная и её применение"
1
14.05.2027
https://m.edsoo.ru/acdaee92
130
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Интеграл
и его применение"
1
14.05.2027
https://m.edsoo.ru/e45f3b4b
131
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Функции"
1
19.05.2027
https://m.edsoo.ru/5422efad
132
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Функции"
1
19.05.2027
https://m.edsoo.ru/6ac38b58
133
Повторение, обобщение,
систематизация знаний: "Функции"
1
21.05.2027
https://m.edsoo.ru/3e82ffa2
134
Итоговая контрольная работа
1
1
21.05.2027
https://m.edsoo.ru/bf427961
135
Итоговая контрольная работа
1
1
26.05.2027
https://m.edsoo.ru/c8abacc7
136
Повторение, обобщение,
систематизация знаний
1
26.05.2027
https://m.edsoo.ru/a284cda9
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
136
10
46
0
47
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
10 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Числа и вычисления
Оперировать понятиями: рациональное и действительное число,
обыкновенная и десятичная дробь, проценты
Выполнять арифметические операции с рациональными и
действительными числами
Выполнять
приближённые
вычисления,
используя
правила
округления, делать прикидку и оценку результата вычислений
Оперировать понятиями: степень с целым показателем, стандартная
форма записи действительного числа, корень натуральной степени;
использовать подходящую форму записи действительных чисел для
решения практических задач и представления данных
Оперировать понятиями: синус, косинус и тангенс произвольного угла;
использовать
запись
произвольного
угла
через
обратные
тригонометрические функции
Уравнения и неравенства
Оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство, целое,
рациональное,
иррациональное
уравнение,
неравенство,
тригонометрическое уравнение
Выполнять преобразования тригонометрических выражений и решать
тригонометрические уравнения
Выполнять преобразования целых, рациональных и иррациональных
выражений и решать основные типы целых, рациональных и
иррациональных уравнений и неравенств
Применять уравнения и неравенства для решения математических
задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать
построенные модели с использованием аппарата алгебры
Функции и графики
Оперировать понятиями: функция, способы задания функции, область
определения и множество значений функции, график функции,
взаимно обратные функции
Оперировать понятиями: чётность и нечётность функции, нули
функции, промежутки знакопостоянства
Использовать графики функций для решения уравнений
Строить и читать графики линейной функции, квадратичной функции,
степенной функции с целым показателем
Использовать графики функций для исследования процессов и
48
4
4.1
4.2
4.3
4.4
5
5.1
5.2
5.3
зависимостей при решении задач из других учебных предметов и
реальной жизни, выражать формулами зависимости между величинами
Начала математического анализа
Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и
геометрическая прогрессии
Оперировать понятиями: бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Задавать последовательности различными способами
Использовать свойства последовательностей и прогрессий для
решения реальных задач прикладного характера
Множества и логика
Оперировать понятиями: множество, операции над множествами
Использовать теоретико-множественный аппарат для описания
реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных
предметов
Оперировать
понятиями:
определение,
теорема,
следствие,
доказательство
11 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
1
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
3
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Числа и вычисления
Оперировать понятиями: натуральное, целое число; использовать
признаки делимости целых чисел, разложение числа на простые
множители для решения задач
Оперировать понятием: степень с рациональным показателем
Оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и натуральные
логарифмы
Уравнения и неравенства
Применять свойства степени для преобразования выражений,
оперировать понятиями: показательное уравнение и неравенство;
решать основные типы показательных уравнений и неравенств
Выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы;
оперировать понятиями: логарифмическое уравнение и неравенство;
решать основные типы логарифмических уравнений и неравенств
Находить решения простейших тригонометрических неравенств
Оперировать понятиями: система линейных уравнений и её решение;
использовать систему линейных уравнений для решения практических
задач
Находить решения простейших систем и совокупностей рациональных
уравнений и неравенств
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства и системы по условию задачи,
исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
Функции и графики
49
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Оперировать понятиями: периодическая функция, промежутки
монотонности функции, точки экстремума функции, наибольшее и
наименьшее значения функции на промежутке; использовать их для
исследования функции, заданной графиком
Оперировать понятиями: графики показательной, логарифмической и
тригонометрических функций; изображать их на координатной
плоскости и использовать для решения уравнений и неравенств
Изображать на координатной плоскости графики линейных уравнений
и использовать их для решения системы линейных уравнений
Использовать графики функций для исследования процессов и
зависимостей из других учебных дисциплин
Начала математического анализа
Оперировать понятиями: непрерывная функция, производная функции;
использовать геометрический и физический смысл производной для
решения задач
Находить
производные
элементарных
функций,
вычислять
производные суммы, произведения, частного функций
Использовать производную для исследования функции на
монотонность и экстремумы, применять результаты исследования к
построению графиков
Использовать производную для нахождения наилучшего решения в
прикладных, в том числе социально-экономических, задачах
Оперировать понятиями: первообразная и интеграл; понимать
геометрический и физический смысл интеграла
Находить первообразные элементарных функций, вычислять интеграл
по формуле Ньютона – Лейбница
Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и
физического характера, средствами математического анализа
50
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ
10 КЛАСС
Проверяемый элемент содержания
Код
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
4.2
Числа и вычисления
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби. Арифметические операции с рациональными
числами, преобразования числовых выражений. Применение дробей и процентов
для решения прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни
Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа. Арифметические
операции с действительными числами. Приближённые вычисления, правила
округления, прикидка и оценка результата вычислений
Степень с целым показателем. Стандартная форма записи действительного
числа. Использование подходящей формы записи действительных чисел для
решения практических задач и представления данных
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими
корнями натуральной степени
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
Уравнения и неравенства
Тождества и тождественные преобразования
Преобразование тригонометрических выражений. Основные тригонометрические
формулы
Уравнение, корень уравнения. Неравенство, решение неравенства. Метод
интервалов
Решение целых и дробно-рациональных уравнений и неравенств
Решение иррациональных уравнений и неравенств
Решение тригонометрических уравнений
Применение уравнений и неравенств к решению математических задач и задач из
различных областей науки и реальной жизни
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Чётные и нечётные функции
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и график.
Свойства и график корня n-ой степени
Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций
числового аргумента
Начала математического анализа
Последовательности, способы задания последовательностей. Монотонные
последовательности
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической
51
5
5.1
5.2
прогрессии. Формула сложных процентов. Использование прогрессии для
решения реальных задач прикладного характера
Множества и логика
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна.
Применение теоретико-множественного аппарата для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов
Определение, теорема, следствие, доказательство
11 КЛАСС
Код
1
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
Степень с рациональным показателем. Свойства степени
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
Уравнения и неравенства
Преобразование выражений, содержащих логарифмы
Преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем
Примеры тригонометрических неравенств
Показательные уравнения и неравенства
Логарифмические уравнения и неравенства
Системы линейных уравнений. Решение прикладных задач с помощью системы
линейных уравнений
Системы и совокупности рациональных уравнений и неравенств
Применение уравнений, систем и неравенств к решению математических задач
и задач из различных областей науки и реальной жизни
Функции и графики
Функция. Периодические функции. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
Использование графиков функций для решения уравнений и линейных систем
Использование графиков функций для исследования процессов и зависимостей,
которые возникают при решении задач из других учебных предметов и
реальной жизни
Начала математического анализа
Непрерывные функции. Метод интервалов для решения неравенств
Производная функции. Геометрический и физический смысл производной
Производные элементарных функций. Формулы нахождения производной
суммы, произведения и частного функций
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке
Применение производной для нахождения наилучшего решения в прикладных
задачах, для определения скорости процесса, заданного формулой или
графиком
52
4.6
4.7
Первообразная. Таблица первообразных
Интеграл, его геометрический и физический смысл. Вычисление интеграла по
формуле Ньютона – Лейбница
53
ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К
РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Код
проверяемого
требования
Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач;
умение формулировать и оперировать понятиями: определение,
аксиома, теорема, следствие, свойство, признак, доказательство,
равносильные формулировки; применять их; умение формулировать
обратное и противоположное утверждение, приводить примеры и
контрпримеры,
использовать
метод
математической
индукции;
проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать
1
логическую
правильность
рассуждений;
умение
оперировать
понятиями: множество, подмножество, операции над множествами;
умение
использовать
теоретико-множественный
аппарат
для
описания реальных процессов и явлений и при решении задач, в том
числе из других учебных предметов; умение оперировать понятиями:
граф, связный граф, дерево, цикл, граф на плоскости; умение задавать
и описывать графы различными способами; использовать графы при
решении задач
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число,
степень с целым показателем, корень натуральной степени, степень с
рациональным показателем, степень с действительным показателем,
логарифм числа, синус, косинус и тангенс произвольного числа,
остаток по модулю, рациональное число, иррациональное число,
множества натуральных, целых, рациональных, действительных
2
чисел; умение использовать признаки делимости, наименьший общий
делитель и наименьшее общее кратное, алгоритм Евклида при
решении задач; знакомство с различными позиционными системами
счисления; умение выполнять вычисление значений и преобразования
выражений со степенями и логарифмами, преобразования дробнорациональных
выражений;
умение
оперировать
понятиями:
последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая
54
прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия;
умение задавать последовательности, в том числе с помощью
рекуррентных формул; умение оперировать понятиями: комплексное
число, сопряжённые комплексные числа, модуль и аргумент
комплексного
числа,
(геометрическая,
форма
записи
тригонометрическая
и
комплексных
чисел
алгебраическая);
уметь
производить арифметические действия с комплексными числами;
приводить примеры использования комплексных чисел; оперировать
понятиями:
матрица
2×2
и
3×3,
определитель
матрицы,
геометрический смысл определителя
Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные,
показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические
уравнения
и
неравенства,
их
системы;
умение
оперировать
понятиями: тождество, тождественное преобразование, уравнение,
3
неравенство, система уравнений и неравенств, равносильность
уравнений,
неравенств
и
систем;
умение
решать
уравнения,
неравенства и системы с помощью различных приёмов; решать
уравнения, неравенства и системы с параметром; применять
уравнения, неравенства, их системы для решения математических
задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
Умение оперировать понятиями: функция, чётность
функции,
периодичность функции, ограниченность функции, монотонность
функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения
функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика
функции, первая и вторая производная функции, геометрический и
физический
смысл
производной,
первообразная,
определённый
интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение
4
вычислять
производные
суммы,
произведения,
частного
и
композиции функций, находить уравнение касательной к графику
функции; умение находить производные элементарных функций;
умение использовать производную для исследования функций,
находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить
графики многочленов с использованием аппарата математического
анализа; применять производную для нахождения наилучшего
решения в прикладных, в том числе социально-экономических и
55
физических задачах; находить площади и объёмы фигур с помощью
интеграла; приводить примеры математического моделирования с
помощью дифференциальных уравнений
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функция,
композиция функций, линейная функция, квадратичная функция,
рациональная функция, степенная функция, тригонометрические
функции, обратные тригонометрические функции, показательная и
логарифмическая функции; умение строить графики изученных
5
функций,
выполнять
преобразования
графиков
функций,
использовать графики для изучения процессов и зависимостей, при
решении задач из других учебных предметов и задач из реальной
жизни; выражать формулами зависимости между величинами;
использовать свойства и графики функций для решения уравнений,
неравенств и задач с параметрами; изображать на координатной
плоскости множества решений уравнений, неравенств и их систем
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на
проценты, доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и
услуг, налоги, задачи из области управления личными и семейными
финансами); составлять выражения, уравнения, неравенства и их
6
системы по условию задачи, исследовать полученное решение и
оценивать правдоподобность результатов; умение моделировать
реальные ситуации на языке математики; составлять выражения,
уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать
построенные
модели
с
использованием
аппарата
алгебры,
интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана,
наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное
отклонение числового набора; умение извлекать, интерпретировать
информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках,
7
отражающую свойства реальных процессов и явлений; представлять
информацию
с
помощью
таблиц
и
диаграмм;
исследовать
статистические данные, в том числе с применением графических
методов и электронных средств; графически исследовать совместные
наблюдения с помощью диаграмм рассеивания и линейной регрессии
8
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное
56
событие, вероятность случайного события;
умение вычислять
вероятность с использованием графических методов; применять
формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной
вероятности, формулу Бернулли, комбинаторные факты и формулы;
оценивать вероятности реальных событий; умение оперировать
понятиями:
случайная
величина,
распределение
вероятностей,
математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение
случайной
величины,
функции
распределения
и
плотности
равномерного, показательного и нормального распределений; умение
использовать свойства изученных распределений для решения задач;
знакомство с понятиями: закон больших чисел, методы выборочных
исследований;
умение приводить примеры проявления закона
больших чисел в природных и общественных явлениях; умение
оперировать понятиями: сочетание, перестановка, число сочетаний,
число
перестановок;
бином
Ньютона;
умение
применять
комбинаторные факты и рассуждения для решения задач; оценивать
вероятности реальных событий; составлять вероятностную модель и
интерпретировать полученный результат
Умение
оперировать
понятиями:
точка,
прямая,
плоскость,
пространство, отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный
угол, трёхгранный угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и
перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямыми,
угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями,
9
расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми,
расстояние между плоскостями; умение использовать при решении
задач изученные факты и теоремы планиметрии; умение оценивать
размеры объектов окружающего мира; строить математические
модели с помощью геометрических понятий и величин, решать
связанные с ними практические задачи
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объём фигуры,
многогранник, правильный многогранник, сечение многогранника,
10
куб, параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность
вращения, цилиндр, конус, шар, сфера, площадь сферы, площадь
поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объём куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра,
57
конуса, шара, развёртка поверхности, сечения конуса и цилиндра,
параллельные оси или основанию, сечение шара, плоскость,
касающаяся сферы, цилиндра, конуса; умение строить сечение
многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности
вращения, их сечения, в том числе с помощью электронных средств;
умение применять свойства геометрических фигур, самостоятельно
формулировать определения изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о
свойствах и признаках геометрических фигур, обосновывать или
опровергать их; умение проводить классификацию фигур по
различным признакам, выполнять необходимые дополнительные
построения
Умение
оперировать
понятиями:
движение
в
пространстве,
параллельный перенос, симметрия на плоскости и в пространстве,
поворот,
преобразование
подобия,
подобные
фигуры;
умение
распознавать равные и подобные фигуры, в том числе в природе,
искусстве, архитектуре; использовать геометрические отношения при
решении задач; находить геометрические величины (длина, угол,
11
площадь, объём) при решении задач из других учебных предметов и
из реальной жизни; умение вычислять геометрические величины
(длина, угол, площадь, объём, площадь поверхности), используя
изученные формулы и методы, в том числе: площадь поверхности
пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, площадь сферы; объём куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра,
конуса, шара; умение находить отношение объёмов подобных фигур
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат,
вектор, координаты точки, координаты вектора, сумма векторов,
12
произведение вектора на число, разложение вектора по базису,
скалярное произведение, векторное произведение, угол между
векторами; умение использовать векторный и координатный метод
для решения геометрических задач и задач других учебных предметов
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи; понимание
значимости математики в изучении природных и общественных
13
процессов и явлений; умение распознавать проявление законов
математики в искусстве, умение приводить примеры математических
открытий российской и мировой математической науки
58
ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ, ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ЕГЭ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Код
1
Числа и вычисления
1.1
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
1.2
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
1.3
Проверяемый элемент содержания
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими
корнями натуральной степени
1.4
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства
степени
1.5
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
1.6
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
1.7
Действительные числа. Арифметические операции с действительными
числами. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка
результата вычислений
1.8
Преобразование выражений
1.9
Комплексные числа
2
Уравнения и неравенства
2.1
Целые и дробно-рациональные уравнения
2.2
Иррациональные уравнения
2.3
Тригонометрические уравнения
2.4
Показательные и логарифмические уравнения
2.5
Целые и дробно-рациональные неравенства
2.6
Иррациональные неравенства
2.7
Показательные и логарифмические неравенства
2.8
Тригонометрические неравенства
2.9
Системы и совокупности уравнений и неравенств
2.10
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
2.11
Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
3
Функции и графики
59
3.1
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции
3.2
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
3.3
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и
график. Свойства и график корня n-ой степени
3.4
Тригонометрические функции, их свойства и графики
3.5
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
3.6
Точки разрыва. Асимптоты
непрерывных на отрезке
3.7
Последовательности, способы задания последовательностей
3.8
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
4
графиков
функций.
Свойства
функций,
Начала математического анализа
4.1
Производная функции. Производные элементарных функций
4.2
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке
4.3
Первообразная. Интеграл
5
Множества и логика
5.1
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна
5.2
Логика
6
Вероятность и статистика
6.1
Описательная статистика
6.2
Вероятность
6.3
Комбинаторика
7
Геометрия
7.1
Фигуры на плоскости
7.2
Прямые и плоскости в пространстве
7.3
Многогранники
7.4
Тела и поверхности вращения
7.5
Координаты и векторы
60
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
Математика. Алгебра и начала математического анализа.
Углубленный уровень: 10 класс: учебник/ А.Г. Мерзляк, Д.А.
Номировский, В.М. Поляков; под ред. В.Е. Подольского, АО
«Издательство «Просвещение».
Математика. Алгебра и начала математического анализа: 11-й
класс: углубленный уровень: учебник/ А.Г. Мерзляк, Д.А.
Номировский, В.М. Поляков; под ред. В.Е. Подольского, АО
«Издательство «Просвещение».
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
УМК Алгебра и математический анализ 10-11 класс авт. А.Г. Мерзляк,
Д.А. Номировский, В.М. Поляков
ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ СЕТИ
ИНТЕРНЕТ
Универсальная библиотека цифрового образовательного контента.
— URL: https://www.gosuslugi.ru/landing/edu-content
Российская электронная школа. — URL: https://resh.edu.ru
Урок.АПК Про. — URL: https://urok.apkpro.ru
Яндекс Образование. — URL: https://education.yandex.ru/main
Учи.ру. — URL: https://uchi.ru
ЯКласс. — URL: https://www.yaklass.ru
ФИПИ. — URL: http://www.fipi.ru/
61
